PERTEMUAN 3
DISTRIBUSI FREKUENSI
Hasil pengukuran yang kita peroleh disebut dengan
data mentah. Besarnya hasil pengukuran yang kita peroleh biasanya bervariasi.
Apabila kita perhatikan data mentah tersebut, sangatlah sulit bagi kita untuk menarik
kesimpulan yang berarti. Untuk memperoleh gambaran yang baik mengenai data
tersebut, data mentah tersebut perlu di olah terlebih dahulu.
Pada saat kita dihadapkan pada sekumpulan data
yang banyak, seringkali membantu untuk mengatur dan merangkum data tersebut
dengan membuat tabel yang berisi daftar nilai data yang mungkin berbeda (baik
secara individu atau berdasarkan pengelompokkan) bersama dengan frekuensi yang
sesuai, yang mewakili berapa kali nilai-nilai tersebut terjadi. Daftar sebaran
nilai data tersebut dinamakan dengan Daftar Frekuensi atau Sebaran Frekuensi (Distribusi
Frekuensi).
Dengan demikian, distribusi frekuensi
adalah daftar nilai data (bisa nilai individual atau nilai data yang sudah
dikelompokkan ke dalam selang interval tertentu) yang disertai dengan
nilai frekuensi yang sesuai.
Pengelompokkan data ke dalam beberapa kelas
dimaksudkan agar ciri-ciri penting data tersebut dapat segera terlihat. Daftar
frekuensi ini akan memberikan gambaran yang khas tentang bagaimana keragaman
data. Sifat keragaman data sangat penting untuk diketahui, karena dalam
pengujian-pengujian statistik selanjutnya kita harus selalu memperhatikan sifat
dari keragaman data. Tanpa memperhatikan sifat keragaman data, penarikan suatu
kesimpulan pada umumnya tidaklah sah.
Sebagai contoh, perhatikan contoh data pada Tabel
1. Tabel tersebut adalah daftar nilai ujian Matakuliah Statistik dari 80
Mahasiswa (Sudjana, 19xx).
Tabel 1. Daftar Nilai Ujian Matakuliah Statistik
Sangatlah sulit untuk menarik suatu kesimpulan dari daftar data tersebut. Secara sepintas, kita belum bisa menentukan berapa nilai ujian terkecil atau terbesar. Demikian pula, kita belum bisa mengetahui dengan tepat, berapa nilai ujian yang paling banyak atau berapa banyak mahasiswa yang mendapatkan nilai tertentu. Dengan demikian, kita harus mengolah data tersebut terlebih dulu agar dapat memberikan gambaran atau keterangan yang lebih baik.
Bandingkan dengan tabel yang sudah disusun dalam
bentuk daftar frekuensi (Tabel 2a dan Tabel 2b). Tabel 2a merupakan
daftar frekuensi dari data tunggal dan Tabel 2b merupakan
daftar frekuensi yang disusun dari data yang sudah di kelompokkan pada kelas
yang sesuai dengan selangnya. Kita bisa memperoleh beberapa informasi atau
karakteristik dari data nilai ujian mahasiswa
Tabel 2a.
Pada Tabel 2a, kita bisa mengetahui
bahwa ada 80 mahasiswa yang mengikuti ujian, nilai ujian terkecil adalah 35 dan
tertinggi adalah 99. Nilai 70 merupakan nilai yang paling banyak diperoleh oleh
mahasiswa, yaitu ada 4 orang, atau kita juga bisa mengatakan ada 4 mahasiswa
yang memperoleh nilai 70, tidak ada satu pun mahasiswa yang mendapatkan nilai
36, atau hanya satu orang mahasiswa yang mendapatkan nilai 35.
Tabel 2b.
Tabel 2b
merupakan daftar frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan. Daftar ini
merupakan daftar frekuensi yang sering digunakan. Kita sering kali
mengelompokkan data contoh ke dalam selang-selang tertentu agar memperoleh
gambaran yang lebih baik mengenai karakteristik dari data. Dari daftar
tersebut, kita bisa mengetahui bahwa mahasiswa yang mengikuti ujian ada 80,
selang kelas nilai yang paling banyak diperoleh oleh mahasiswa adalah sekitar
71 sampai 80, yaitu ada 24 orang, dan seterusnya. Hanya saja perlu diingat bahwa
dengan cara ini kita bisa kehilangan identitas dari data aslinya. Sebagai
contoh, kita bisa mengetahui bahwa ada 2 orang yang mendapatkan nilai antara 31
sampai 40. Meskipun demikian, kita tidak akan tahu dengan persis, berapa nilai
sebenarnya dari 2 orang mahasiswa tersebut, apakah 31 apakah 32 atau 36 dst.
Tabel 3.
Range : Selisih antara nilai
tertinggi dan terendah. Pada contoh ujian di atas, Range = 99 – 35 = 64
Batas bawah kelas: Nilai
terkecil yang berada pada setiap kelas. (Contoh: Pada Tabel 3 di atas, batas
bawah kelasnya adalah 31, 41, 51, 61, …, 91)
Batas atas kelas: Nilai terbesar
yang berada pada setiap kelas. (Contoh: Pada Tabel 3 di atas, batas bawah
kelasnya adalah 40, 50, 60, …, 100)
Batas kelas (Class
boundary): Nilai yang digunakan untuk memisahkan
antar kelas, tapi tanpa adanya jarak antara batas atas kelas dengan batas bawah
kelas berikutnya. Contoh: Pada kelas ke-1, batas kelas terkecilnya yaitu 30.5
dan terbesar 40.5. Pada kelas ke-2, batas kelasnya yaitu 40.5 dan 50.5. Nilai
pada batas atas kelas ke-1 (40.5) sama dengan dan merupakan nilai batas bawah
bagi kelas ke-2 (40.5). Batas kelas selalu dinyatakan dengan jumlah
digit satu desimal lebih banyak daripada data pengamatan asalnya. Hal
ini dilakukan untuk menjamin tidak ada nilai pengamatan yang jatuh tepat pada
batas kelasnya, sehingga menghindarkan keraguan pada kelas mana data tersebut
harus ditempatkan. Contoh: bila batas kelas di buat seperti ini:
Kelas ke-1 : 30 – 40
Kelas ke-2 : 40 – 50
dst
Apabila
ada nilai ujian dengan angka 40, apakah harus ditempatkan pada kelas-1 ataukah
kelas ke-2?
Panjang/lebar
kelas (selang kelas): Selisih antara dua nilai batas
bawah kelas yang berurutan atau selisih antara dua nilai batas atas kelas yang
berurutan atau selisih antara nilai terbesar dan terkecil batas kelas bagi
kelas yang bersangkutan. Biasanya lebar kelas tersebut memiliki lebar yang
sama. Contoh:
lebar
kelas = 41 – 31 = 10 (selisih antara 2 batas bawah kelas yang berurutan) atau
lebar
kelas = 50 – 40 = 10 (selisih antara 2 batas atas kelas yang berurutan) atau
lebar
kelas = 40.5 – 30.5 = 10. (selisih antara nilai terbesar dan terkecil batas
kelas pada kelas ke-1)
Nilai
tengah kelas: Nilai kelas merupakan nilai tengah
dari kelas yang bersangkutan yang diperoleh dengan formula berikut: ½ (batas
atas kelas+batas bawah kelas). Nilai ini yang dijadikan pewakil dari selang
kelas tertentu untuk perhitungan analisis statistik selanjutnya. Contoh: Nilai
kelas ke-1 adalah ½(31+40) = 35.5
Banyak
kelas: Sudah jelas! Pada tabel ada 7
kelas.
Frekuensi
kelas: Banyaknya kejadian (nilai) yang
muncul pada selang kelas tertentu. Contoh, pada kelas ke-1, frekuensinya = 2.
Nilai frekuensi = 2 karena pada selang antara 30.5 – 40.5, hanya ada 2 angka
yang muncul, yaitu nilai ujian 31 dan 38.
Teknik pembuatan Tabel Distribusi Frekuensi (TDF)
Distribusi
frekuensi dibuat dengan alasan berikut:
- kumpulan data yang besar dapat diringkas
- kita dapat memperoleh beberapa gambaran mengenai karakteristik data, dan
- merupakan dasar dalam pembuatan grafik penting (seperti histogram).
Banyak
software (teknologi komputasi ) yang bisa digunakan untuk membuat tabel
distribusi frekuensi secara otomatis. Meskipun demikian, di sini tetap akan
diuraikan mengenai prosedur dasar dalam membuat tabel distribusi frekuensi.
Langkah-langkah
dalam menyusun tabel distribusi frekuensi:
- Urutkan data, biasanya diurutkan dari nilai yang paling kecil
- Tujuannya agar range data diketahui dan mempermudah penghitungan frekuensi tiap kelas!
- Tentukan range (rentang atau jangkauan)
- Range = nilai maksimum – nilai minimum
- Tentukan banyak kelas yang diinginkan. Jangan terlalu banyak/sedikit, berkisar antara 5 dan 20, tergantung dari banyak dan sebaran datanya.
- Aturan Sturges:
- Banyak kelas = 1 + 3.3 log n, dimana n = banyaknya data
- Tentukan panjang/lebar kelas interval (p)
- Panjang kelas (p) = [rentang]/[banyak kelas]
- Tentukan nilai ujung bawah kelas interval pertama
Pada
saat menyusun TDF, pastikan bahwa kelas tidak tumpang tindih sehingga setiap
nilai-nilai pengamatan harus masuk tepat ke dalam satu kelas. Pastikan juga
bahwa tidak akan ada data pengamatan yang tertinggal (tidak dapat dimasukkan ke
dalam kelas tertentu). Cobalah untuk menggunakan lebar yang sama untuk semua
kelas, meskipun kadang-kadang tidak mungkin untuk menghindari interval terbuka,
seperti ” ≥ 91 ” (91 atau lebih). Mungkin juga ada kelas tertentu dengan
frekuensi nol.
Contoh:
Kita gunakan prosedur di atas untuk menyusun tabel distribusi
frekuensi nilai ujian mahasiswa(Tabel 1)
atau
dalam bentuk yang lebih ringkas:
Distribusi Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Variasi
penting dari distribusi frekuensi dasar adalah dengan menggunakan nilai
frekuensi relatifnya, yang disusun dengan membagi frekuensi setiap kelas dengan
total dari semua frekuensi (banyaknya data). Sebuah distribusi frekuensi
relatif mencakup batas-batas kelas yang sama seperti TDF, tetapi frekuensi yang
digunakan bukan frekuensi aktual melainkan frekuensi relatif. Frekuensi relatif
kadang-kadang dinyatakan sebagai persen.
Frekuensi
relatif =
Contoh:
frekuensi relatif kelas ke-1:
fi
= 2; n = 80
Frekuensi relatif = 2/80 x 100% =
2.5%
Distribusi Frekuensi kumulatif
Variasi
lain dari distribusi frekuensi standar adalah frekuensi kumulatif. Frekuensi
kumulatif untuk suatu kelas adalah nilai frekuensi untuk kelas tersebut ditambah
dengan jumlah frekuensi semua kelas sebelumnya.
Perhatikan
bahwa kolom frekuensi selain label headernya diganti dengan frekuensi kumulatif
kurang dari, batas-batas kelas diganti dengan “kurang dari” ekspresi yang
menggambarkan kisaran nilai-nilai baru.
atau kadang disusun dalam
bentuk seperti ini:
Histogram
Histogram adalah merupakan bagian
dari grafik batang di mana skala horisontal mewakili nilai-nilai data kelas dan
skala vertikal mewakili nilai frekuensinya. Tinggi batang sesuai dengan nilai
frekuensinya, dan batang satu dengan lainnya saling berdempetan, tidak ada
jarak/ gap diantara batang. Kita dapat membuat histogram setelah tabel
distribusi frekuensi data pengamatan dibuat.
Poligon Frekuensi:
Poligon Frekuensi menggunakan segmen garis yang terhubung ke titik yang
terletak tepat di atas nilai-nilai titik tengah kelas. Ketinggian dari
titik-titik sesuai dengan frekuensi kelas, dan segmen garis diperluas ke kanan
dan kiri sehingga grafik dimulai dan berakhir pada sumbu horizontal
